Methode de krylov exemple

Tous les algorithmes qui fonctionnent de cette façon sont appelés méthodes sous-spatiales Krylov; ils sont parmi les méthodes les plus réussies actuellement disponibles en algèbre linéaire numérique. Le concept est nommé d`après le mathématicien russe appliqué et l`ingénieur naval Alexei Krylov, qui a publié un article à ce sujet en 1931. Commençant par un vecteur, b, on calcule A b {displaystyle AB}, puis on multiplie ce vecteur par A {displaystyle A} pour trouver A 2 b {displaystyle A ^ {2} b} et ainsi de suite. Parce que les vecteurs deviennent généralement presque linéairement dépendants en raison des propriétés de l`itération de puissance, les méthodes reposant sur le sous-espace de Krylov impliquent fréquemment un certain schéma d`orthogonalisation, tel que l`itération de Lanczos pour les matrices hermitiennes ou Arnoldi pour des matrices plus générales. Les méthodes itératives modernes pour trouver une (ou quelques) valeurs propres de grandes matrices éparses ou la résolution de grands systèmes d`équations linéaires évitent les opérations matricielles, mais multiplient plutôt les vecteurs par la matrice et fonctionnent avec les vecteurs résultants. Les méthodes les plus connues sous-spatiales de Krylov sont les Arnoldi, Lanczos, gradient conjugué, IDR (s) (réduction de la dimension induite), GMRES (résiduel minimum généralisé), BiCGSTAB (gradient biconjugate stabilisé), QMR (quasi-résiduel minimal), TFQMR ( QMR), et les méthodes MINRES (minimum résiduel)..